Sistem Persamaan Linier Matematika

Sahabat semua, pasti semuanya pernah dong belajar dengan yang namanya sistem persaan linier ini.
ternyata kita memang tidak bisa terlepas dari yang namanya makhluk matematika ini. 😀
dari SD sampai perguruan tinggi pun masih di pelajari.
Sistem persamaan linier merupakan salah satu ilmu dari ilmu yang banyak sekali dipelajari dalam matematika. 😀 Setelah saya post tentang Matriks maka:
kali ini saya akan coba memberikan sedikit materi tentang Sistem persamaan Linier Matematika langsung saja di tengok;

BAB II
Sistem Persamaan Linear
II.1 Pendahuluan
Bentuk umum
Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam
bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.
Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi
logaritma ataupun fungsi exponensial.
Contoh 2.1.1 :
a. x + y = 4 􀃆persamaan linear dengan 2 peubah
b. 2x – 3y = 2z +1 􀃆persamaan linear dengan 3 peubah
c. 2 log x + log y = 2 􀃆bukan persamaan linear
d. 2ex = 2x + 3 􀃆bukan persamaan linear
Sistem persamaan linear ( SPL )
Definisi
Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear
Contoh 2.1.2:
a. x + y = 2 b. x – y + z = 4
2x + 2y = 6 x + y = 0
Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ) , sistem
persamaan linear yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu
penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak. 
Pada sistem persamaaan linear dengan dua peubah, secara geometris jika SPL tidak
mempunyai penyelesaian maka grafiknya berupa dua garis yang saling sejajar, jika
penyelesaiannya tunggal maka himpunan penyelesaiannya berupa sebuah titik hasil
perpotongan dua garis sedangkan jika penyelesaiannya banyak maka himpunan
penyelesaiannya berupa dua garis lurus yang saling berhimpit. Secara lebih jelas dapat
dilihat pada contoh 2.1.3 berikut :
a. x + y = 2 , Grafiknya :
2x + 2y = 6
Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak penyelesaian
yang memenuhi sehingga disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten.
b. x – y = 2 , Grafiknya :
x + y = 2
Grafik tersebut menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian dari SPL adalah titik
potong antara x – y = 2 dan x + y = 2 yaitu titik ( 2,0 ). Jadi penyelesaian dari SPL
adalah tunggal yaitu x = 2 dan y = 0.
c. x + y = 2 , Grafiknya :
2x + 2y = 4
Grafik diatas bahwa x + y = 2 dan 2x + 2y = 4 saling berhimpit sehingga hanya
terlihat seperti satu garis saja. Himpunan penyelesaian dari SPL semua titik yang
terletak disepanjang garis tersebut. Misalkan diambil x = 0 maka didapatkan y = 2 yang
memenuhi persamaan, jika x = 1 maka nilai y = 1 adalah nilai yang memenuhi . Secara
matematis dapat dituliskan sebagai : { (x,y) | x = 2 – y , x∈R ,y∈R }
Untuk kasus sistem persamaan linear dengan menggunakan dua peubah , pembuatan
grafik untuk menentukan himpunan penyeleaian seperti ini masih memungkinkan ,
hanya saja untuk jumlah peubah yang lebih banyak hal ini sulit dilakukan.
II.2 Operasi baris elementer
Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear terutama yang
menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk
menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear
yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linear biasanya juga tidak
didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang
terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks
tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi untuk
mendapatkan penyelesaian dari SPL.
Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai
eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang
digunakan disebut operasi baris elementer.
Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan , yaitu :
a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol
b. Mempertukarkan dua buah baris
c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi
yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk
matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya.
Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar.
Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan
berikut ini :
Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan
Matriks yang memiliki berukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor
sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan cetak
tebal atau digaris atasnya . Jadi matriks X dan B diatas biasa dituliskan sebagai x dan b
atau x dan b sehingga SPL dapat dituliskan sebagai A x = b . Pada SPL yang
berbentuk seperti ini , matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.
Untuk menyelesaikan persamaan linear diatas maka dibuat matriks diperbesar dari A
dan b yang elemen – elemennya merupakan gabungan elemen matriks A dan vektor b
yang dinotasikan A b , yaitu :
A b =
Untuk menyelesaikan persamaan linear tersebut dilakukan eliminasi Gauss–Jordan
seperti ditunjukkan dalam contoh berikut :
Contoh 2.2.1
a. x + 2y + 3z = 1
2x + 5y + 3z = 6
x + 8z = –6
Matriks diperbesar A b =
Operasi baris elementer pada [A | b ] menghasilkan :
A b =
bentuk eselon baris tereduksi
Dari bentuk eselon baris tereduksi maka dapat dibuat persamaannya , yaitu :
Dari baris 1 (b1) 􀃆x + 0y + 0z = 2 􀃆x = 2
Dari baris 2 (b2) 􀃆0x + y + 0z = 1 􀃆y = 1
Dari baris 3 (b3) 􀃆0x + 0y + z = –1 􀃆z = –1
Jadi penyelesaian SPL diatas adalah tunggal , yaitu :
Untuk melihat apakah jawaban tersebut benar ataukah tidak , kita dapat memasukkan
nilai – nilai tersebut pada persamaan awal.
Keterangan
Penulisan b1, b2 dan sebagainya pada proses diatas sifatnya tidak mutlak dan hanya
digunakan sebagai alat pembantu dalam proses operasi baris elementer. Dalam
perhitungan selanjutnya penulisan ini mungkin tidak perlu dilakukan.
b. x + 2z = 1
–x + y – z = 0
2x + y + 5z = 3
Matriks diperbesar A b =
A b =
Persamaannya :
Dari baris 1 􀃆x + 2z = 1 􀃆x = 1 – 2z
Dari baris 2 􀃆y + z = 1 􀃆y = 1 – z
Karena baris 3 adalah baris nol dan kolom yang tidak memiliki satu utama adalah
kolom 3 maka dapat diambil nilai z sembarang misalkan z = s, sehingga nilai
x = 1 – 2s dan y = 1 – s . Baris nol pada kasus diatas juga menunjukkan bahwa
penyelesaian dari SPL adalah tak hingga banyak. Banyaknya baris nol pada
matriks
diatas ( dengan A merupakan matriks bujursangkar ) juga menunjukkan
banyaknya parameter (s) pada penyelesaian SPL.
Jadi penyelesaian dari SPL adalah
Untuk menguji apakah nilai yang didaptkan benar atau tidak, ambil sembarang bilangan
untuk s misalnya s = 0 didapatkan x = 1, y = 1 dan z = 0 masukkan nilai – nilai ke
persamaan kemudian bandingkan ruas kiri dan ruas kanan. Coba lagi untuk nilai s yang
lain.
c. 2x + 2z = 4
–2x + y = –3
x + 2y + 5z = 6
Matriks diperbesar A b =
A b =
Pada baris ketiga matriks eselon baris tereduksi didapatkan persamaan:
0x + 0y + 0z = 2 􀃆hal ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada nilai untuk x, y
dan z yang memenuhi persamaan karena apapun nilai x, y dan z nya, ruas kiri
akan selalu bernilai nol jadi nilai 2 tidak akan tercapai. Jadi kalau ada bentuk
matriks eselon baris tereduksi yang seperti diatas , pasti dapat disimpulkan bahwa
SPL tidak memiliki penyelesaian atau SPL tidak konsisten.
II.3 Sistem persamaan linear Homogen
Sistem persamaan linear Homogen merupakan kasus khusus dari Sistem persamaan
linear biasa A x = b untuk kasus b = 0 . Karena bentuknya yang demikian maka
pastilah pada matriks diperbesar A b setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan
kolom terakhirnya akan selalu nol sehingga penyelesaian dari SPL akan selalu ada . Ada
dua macam penyelesaian dalam SPL homogen ini yaitu trivial ( tak sejati ) dan tak
trivial ( sejati ).
Penyelesaian trivial terjadi jika satu – satunya penyelesaian untuk SPL adalah x = 0
hal ini terjadi jika semua kolom pada matriks diperbesar A b ( setelah dilakukan
eliminasi Gauss– Jordan ) memiliki satu utama kecuali untuk kolom yang terakhir atau
dengan kata lain semua kolom pada matriks A memiliki satu utama . Jika hal yang
sebaliknya terjadi yaitu tidak semua kolom pada matriks A ( setelah dilakukan eliminasi
Gauss–Jordan )
memilki satu utama atau jika terdapat baris nol maka penyelesaian untuk SPL adalah
penyelesaian tak trivial yaitu penyelesaian tak hingga banyak.
Contoh 2.3.1
Diketahui sistem persamaan linear homogen
Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah
A b =
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki satu utama
sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu
Contoh 2.3.2
Diketahui sistem persamaan linear homogen
Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah :
A b =
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa hanya dua kolom dari matriks A yang
memiliki satu utama atau terdapat dua baris nol , ini berarti bahwa penyelesaian SPL
adalah tak trivial yaitu penyelesaian banyak dengan dua parameter yaitu :
2 , jika diambil z = s dan w = t, s ,t ∈R maka
Eliminasi Gaus–Jordan untuk mendapatkan penyelesaian SPL homogen sering juga
dilakukan pada matriks A saja karena pada kasus ini b = 0 jadi tidak akan
mempengaruhi hasil perhitungan.
Silahkan share dan kommen. 😀